TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ OXYZ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Phương trình đường thẳng:

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left({x_0};{y_0};{z_0}\right)$ và nhận vectơ $\vec{a}=\left({a_1};{a_2};{a_3}\right)$ với ${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2 \ne 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta $ có phương trình tham số là

$\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+{a_1}t\\y={y_0}+{a_2}t\\z={z_0}+{a_2}t\end{array}\right. ; \, \left({t \in \mathbb{R}}\right)$

Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${M_0}\left({x_0};{y_0};{z_0}\right)$ và nhận vectơ $\vec{a}=\left({a_1};{a_2};{a_3}\right)$ sao cho ${a_1}{a_2}{a_3}\ne 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta $ có phương trình chính tắc là

$\dfrac{x-{x_0}}{a_1}=\dfrac{y-{y_0}}{a_2}=\dfrac{z-{z_0}}{a_3}$

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{a}_1$

${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{a}_2$

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Ta có: $\cos \varphi=\dfrac{\left| \vec{a}_1. \vec{a}_2\right|}{\left| \vec{a}_1\right|. \left| \vec{a}_2\right|}$

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\Delta $ có vectơ chỉ phương $\vec{a}_{\Delta}$

$\left(\alpha \right)$ có vectơ chỉ phương $\vec{n}_{\alpha}$

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta $ và $(\alpha)$. Ta có: $\sin \varphi=\dfrac{{\left|{\vec{a}_{\Delta}. \vec{n}_{\alpha}}\right|}}{{\left|{\vec{a}_{\Delta}}\right|. \left|{\vec{n}_{\alpha}}\right|}}$

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta $:

$\Delta $ đi qua điểm ${M_0}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}_{\Delta}$

$d\left(M, \Delta \right)=\dfrac{\left| \left[\vec{a}_{Delta}, \overrightarrow{{{M}_{0}}M}\right] \right|}{\left| \vec{a}_{Delta}\right|}$

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

${\Delta _1}$ đi qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}_1$

${\Delta _2}$ đi qua điểm $N$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}_2$

$d\left({{\Delta}_{1}},{{\Delta}_{2}}\right)\text{=}\dfrac{\left| \left[\vec{a}_1, \vec{a}_2\right]. \overrightarrow{MN}\right|}{\left| \left[\vec{a}_1, \vec{a}_2\right] \right|}$

IV. Các dạng toán thường gặp:

1. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm phân biệt $A, B$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow{??}$.

2. Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và song song với $d$.

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

Nếu $\Delta $ song song hoặc trùng bới trục $Ox$ thì $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}_{\Delta}=\vec i=\left({1; 0; 0}\right)$

Nếu $\Delta $ song song hoặc trùng bới trục $Oy$ thì $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}_{\Delta}=\vec j=\left({0; 1; 0}\right)$

Nếu $\Delta $ song song hoặc trùng bới trục $Oz$ thì $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}_{\Delta}=\vec k=\left({0; 1; 0}\right)$

Các trường hợp khác thì $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\vec{a}_{\Delta}=\vec{a}_d$, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$

3. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\vec{n}_{\alpha}$, với $\vec{n}_{\alpha}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

4. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{a}_1, \vec{a}_2}\right]$, với $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ lần lượt là vectơ chỉ phương của ${d_1},{d_2}$.

5. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ vuông góc với đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{a}_d, \vec{n}_{\alpha}}\right]$, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\vec{n}_{\alpha}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

6. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$ và song song với hai mặt phẳng $\left(\alpha \right), \left(\beta \right)$; ($\left(\alpha \right), \left(\beta \right)$ là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{n}_{\alpha}, \vec{a}_{beta}}\right]$, với $\vec{n}_{\alpha}, \vec{a}_{beta}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right), \left(\beta \right)$.

7. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$.

Cách giải:

Lấy một điểm bất kì trên $\Delta $, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{n}_{\alpha}, \vec{a}_{beta}}\right]$, với $\vec{n}_{\alpha}, \vec{a}_{beta}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right), \left(\beta \right)$.

8. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$ và cắt hai đường thẳng ${d_1},{d_2}\left({A \notin{d_1}, A \notin{d_2}}\right)$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{n}_1, \vec{n}_2}\right]$, với $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $mp\left({A,{d_1}}\right), mp\left({A,{d_2}}\right)$.

9. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và cắt hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\overrightarrow{AB}$, với $A={d_1}\cap \left(\alpha \right), B={d_2}\cap \left(\alpha \right)$

10. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc và cắt $d$.

Cách giải:

Xác định $B=\Delta \cap d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A, B$.

11. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$, vuông góc với ${d_1}$ và cắt ${d_2}$, với $A \notin{d_2}$.

Cách giải:

Xác định $B=\Delta \cap{d_2}$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A, B$.

12. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Cách giải:

Xác định $B=\Delta \cap d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A, B$.

13. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt và vuông góc đường thẳng $d$.

Cách giải:

Xác định $A=d \cap \left(\alpha \right)$.

Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{a}_d, \vec{n}_{\alpha}}\right]$, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\vec{n}_{\alpha}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

14. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua giao điểm $A$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, nằm trong $\left(\alpha \right)$ và vuông góc đường thẳng $d$ (ở đây $d$ không vuông góc với $\left(\alpha \right)$).

Cách giải:

Xác định $A=d \cap \left(\alpha \right)$.

Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương của $\Delta $ là $\vec{a}_{\Delta}=\left[{\vec{a}_d, \vec{n}_{\alpha}}\right]$, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$, $\vec{n}_{\alpha}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

15. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ${d_1},{d_2}$.

Cách giải:

Xác định $A=\Delta \cap{d_1}, B=\Delta \cap{d_2}$ sao cho $\left\{\begin{array}{l}AB \bot{d_1}\\AB \bot{d_2}\end{array}\right.$

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A, B$.

16. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng $d$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Cách giải:

Xác định $A=\Delta \cap{d_1}, B=\Delta \cap{d_2}$ sao cho $\overrightarrow{AB}, \vec{a}_d$ cùng phương, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}_d=\vec{a}_{\Delta}$.

17. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$.

Cách giải:

Xác định $A=\Delta \cap{d_1}, B=\Delta \cap{d_2}$ sao cho $\overrightarrow{AB}, \vec{n}_{\alpha}$ cùng phương, với $\vec{n}_{\alpha}$ là vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}_d=\vec{n}_{\alpha}$.

18. Viết phương trình $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Cách giải: Xác định $H \in \Delta $ sao cho $\overrightarrow{AH}\bot \vec{a}_d$, với $\vec{a}_d$ là vectơ chỉ phương của $d$.

Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$

19. Viết phương trình $\Delta $ là hình chiếu song song của $d$ lên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ theo phương $\left(P \right): 2x-3y+5z-4=0$.

Cách giải:

Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa $d$ và có thêm một véc tơ chỉ phương $N\left({-3;-4; 5}\right)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1. Học \sinh xác định được vectơ chỉ phương và điểm nào đó thuộc đường thẳng khi cho trước phương trình.

2. Học \sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và ngược lại.

3. Học \sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số.

4. Học \sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng.

C. BÀI TẬP TRẮC NGH