CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Căn bậc hai của số phức: 

Cho số phức \(w\). Mỗi số phức \(z\)thỏa mãn \({z^2} = w\) được gọi là một căn bậc hai của \(w\).
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\). Xét \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), ta có
• \(\Delta  = 0:\)phương trình có nghiệm thực \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\).
• \(\Delta  > 0\): phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\).
• \(\Delta  < 0\): phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:\({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\).
 Chú ý.
 Mọi phương trình bậc \(n\): \({A_o}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0\)luôn có \(n\) nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)(thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

• Trường hợp \(w\) là số thực: Nếu \(a\) là một số thực
 + \(a < 0,\)\(a\) có các căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {|a|} \).
 + \(a = 0\), \(a\) có đúng một căn bậc hai là 0.
 + \(a > 0\), \(a\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \).
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là \(i\)\( - i\). Hai căn bậc hai của \( - {a^2}\)(\(a\)là số thực khác 0) là \(ai\)\( - ai\).
• Trường hợp \(w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,b \ne 0} \right)\)
Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là một căn bậc hai của \(w\) khi và chỉ khi \({z^2} = w\), tức là
\({\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow \,{x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)
Mỗi cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai \(x + yi\) của số phức \(w = a + bi\).
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của \(w =  - 5 + 12i\).
Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(w =  - 5 + 12i\).
Ta có \({z^2} = w \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} =  - 5 + 12i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} =  - 5\\2xy = 12\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \dfrac{6}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(w =  - 5 + 12i\) có hai căn bậc hai là \(2 + 3i\)\( - 2 - 3i\).
2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
• Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: \({z^2} - z + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta  = {b^2} - 4ac =  - 3 < 0\)
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là \({x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\).
• Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
 + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm \(x = 1\).
 + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm \(x =  - 1\).
 + Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức \(f\left( x \right)\)cho \(x - a\) bằng giá trị của đa thức \(f\left( x \right)\) tại \(x = a.\)
Tức là \(f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right) - f\left( a \right)\)
Hệ quả: Nếu \(f\left( a \right) = 0\) thì \(f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)\)
Nếu \(f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)\)thì \(f\left( a \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) = 0\) có một nghiệm \(x = a.\)
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Với đa thức \(f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}\) chia cho \(x - a\) có thương là \(g\left( x \right) = {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {b_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ... + {b_1}x + {b_0}\)\(r\)

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo \(i\): Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5:  Khai căn bậc hai số phức \(z =  - 3 - 4i\) có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
– Nhập hàm \({X^2}\)
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng \(z\) thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập \(Pol\left( { - 3;4} \right)\)
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập\({\mathop{\rm Re}\nolimits} c\left( {\sqrt X ,Y:2} \right)\), ta thu được kết quả\(X = 1;\,Y = 2\).
– Vậy 2 số phức cần tìm là \(1 + 2i\)\( - 1 - 2i\).