CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa.
• Đơn vị ảo : Số \(i\)\({i^2} =  - 1\) được gọi là đơn vị ảo.
• Số phức \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Gọi \(a\) là phần thực, \(b\) là phần ảo của số phức \(z\).
• Tập số phức \(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb{R};{i^2} =  - 1} \right\}\). Tập số thực \(\mathbb{R}\) là tập con của tập số phức \(\mathbb{C}\).
• Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = c}\\{b = d}\end{array}} \right.\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).
 Đặc biệt:
 Khi phần ảo \(b = 0 \Leftrightarrow z = a \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z\) là số thực,
 Khi phần thực \(a = 0 \Leftrightarrow z = bi \Leftrightarrow z\) là số thuần ảo,
 Số \(0 = 0 + 0i\) vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Môđun của số phức.
• \(\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) được gọi là môđun của số phức \(z\).
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
 \(\begin{array}{l}\left| z \right| \ge 0;\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0;\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\\\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\\\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\end{array}\)
3. Số phức liên hợp.
• Cho số phức \(z = a + bi\). Ta gọi số phức liên hợp của \(z\)\(\overline z  = a - bi\).
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
 \(\begin{array}{l}\overline {\overline z }  = z;\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {{z_1} \pm {z_2}}  = \overline {{z_1}}  \pm \overline {{z_2}} \\\overline {{z_1}.{z_2}}  = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {\left( {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \dfrac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}\end{array}\)
\(z\) là số thực \( \Leftrightarrow z = \overline z \)
\(z\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow z =  - \overline z \)
4. Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi\)\({z_2} = c + di\) thì:
• Phép cộng số phức: \({z_1} + {z_2} = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
• Phép trừ số phức: \({z_1} - {z_2} = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)
 Mọi số phức \(z = a + bi\) thì số đối của \(z\)\( - z =  - a - bi:z + \left( { - z} \right) = \left( { - z} \right) + z = 0\)
• Phép nhân số phức:\({z_1}.{z_2} = \left( {ab - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)
 Chú ý \(\left\{ \begin{array}{l}{i^{4k}} = 1\\{i^{4k + 1}} = i\\{i^{4k + 2}} =  - 1\\{i^{4k + 3}} =  - i\end{array} \right.\)
• Phép chia số phức:
 Số phức nghịch đảo của \(z = a + bi \ne 0\): \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \overline z \)
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \dfrac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \dfrac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}} \cdot i\) (với \({z_2} \ne 0\))

Một số ví dụ mình họa: