CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

2. Nguyên hàm

Định nghĩa: 

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi \(x \in K\).

$\displaystyle\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right) + C \Leftrightarrow } F'\left( x \right) = f\left( x \right)$


Định lí:
1) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\) thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\).
2) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) đều có dạng \(F\left( x \right) + C\), với \(C\) là một hằng số.
Do đó \(F\left( x \right) + C, \,C \in \mathbb{R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\). Ký hiệu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right) + C} \).
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\) và \(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = f\left( x \right)}  + C\)
Tính chất 2: \(\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x}  = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) với \(k\) là hằng số khác \(0\).
Tính chất 3: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}  = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \pm \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \)
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).


II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: 

Nếu \(\int {f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C} \) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)d{\rm{x}} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} \)
Hệ quả: Nếu \(u = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) thì ta có\(\int {f\left( {ax + b} \right)d{\rm{x}} = \dfrac{1}{a}F\left( {ax + b} \right)}  + C\)
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2:  Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì
\(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)d{\rm{x}} = u\left( x \right)v\left( x \right) - } \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
Hay
\(\int {u{\rm{d}}v = uv - \int {v{\rm{d}}u} } \)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM