TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT

6. PT, BPT MŨ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình mũ cơ bản :  \({a^x} = b{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)\).
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \(b > 0\).
● Phương trình vô nghiệm khi \(b \le 0\).
2. Biến đổi, quy về cùng cơ số
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).
3. Đặt ẩn phụ
$f\left[ {{a}^{g\left( x \right)}} \right]=0\mathsf{  }\text{ }\left( 0<a\ne 1 \right)\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{align}
  & t={{a}^{g\left( x \right)}}>0 \\
 & f\left( t \right)=0 \\
\end{align} \right.$
Ta thường gặp các dạng:
● \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\)
● \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b = 1\). Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\rm{  }}t > 0\), suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{t}\).
● \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\). Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\)  và đặt \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).
4. Logarit hóa
● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1,{\rm{ }}b > 0\\f\left( x \right) = {\log _a}b\end{array} \right.\).
● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b\)
                                                       hoặc \({\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).\)
5. Giải bằng phương pháp đồ thị
o Giải phương trình: \({a^x} = f\left( x \right)\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\).  \(\left(  *  \right)\)
o Xem phương trình \(\left(  *  \right)\) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y = {a^x}\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\). Khi đó ta thực hiện hai bước:
 Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\).
 Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o Tính chất 1. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = k\) trên \(\left( {a;b} \right)\) không nhiều hơn một và \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v,\)  \(\forall u,v \in \left( {a;b} \right)\).
o Tính chất 2. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục và luôn nghịch biến  (hoặc luôn đồng biến) trên \({\rm{D}}\) thì số nghiệm trên \({\rm{D}}\) của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) không nhiều hơn một.
o Tính chất 3. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \({\rm{D}}\) thì bất phương trình \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v{\rm{ }}\left( {{\rm{hoac }}\  \ u < v} \right){\rm{,    }}\forall u,v \in D\).
 7. Sử dụng đánh giá
o Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
o Nếu ta đánh giá được \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m\\g\left( x \right) \le m\end{array} \right.\)  thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = m\\g\left( x \right) = m\end{array} \right.\).
8. Bất phương trình mũ
• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

.  Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.\)
• Trong trường hợp cơ số\(a\)có chứa ẩn số thì:  .
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Sử dụng tính đơn điệu: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\)
 đồng biến trên \(D\) thì:\(f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u < v\)
 nghịch biến trên \(D\) thì:\(f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u > v\)

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA