HÀM SỐ LŨY THỪA

I – LÝ THUYẾT

1.  Định nghĩa: Hàm số \(y = {x^\alpha },\) với \(\alpha  \in \mathbb{R},\) được gọi là hàm số lũy thừa.

2.  Tập xác định: Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là:

♠ \(D = \mathbb{R}\) nếu \(\alpha \) là số nguyên dương.     

♠    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) với \(\alpha \) nguyên âm hoặc bằng \(0.\)

♠    \(D = (0; + \infty )\) với \(\alpha \) không nguyên.

3.  Đạo hàm: Hàm số \(y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha  \in \mathbb{R})\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \(({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha  - 1}}.\)

4.  Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng \((0; + \infty )\) (khảo sát hàm lũy thừa).

\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha  > 0\)

A. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

B. Sự biến thiên: 

  \(y' = \alpha {x^{\alpha  - 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

  Giới hạn đặc biệt: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^\alpha } =  + \infty .\)

C. Tiệm cận: Không có

D. Bảng biến thiên: 

 THIẾU BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ

E. Đồ thị:

\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha  < 0\)

A. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

B.  Sự biến thiên:

  \(y' = \alpha {x^{\alpha  - 1}} < 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

  Giới hạn đặc biệt: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } =  + \infty ,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^\alpha } = 0.\)

Tiệm cận:

Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang.

     Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng.

C.  Bảng biến thiên:

  THIẾU BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ

F. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\) luôn đi qua điểm \(I(1;1).\)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: \(y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ - 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.\)

II – CÁC DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Tập xác định của hàm lũy thừa, hàm vô tỷ

a) Phương pháp giải

- Tự luận thuần túy: 

Xét hàm số \(y = {\left[ {f(x)} \right]^\alpha }\)

Khi \(\alpha \) nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x)\) xác định.

Khi \(\alpha \) nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) \ne 0\). 

Khi \(\alpha \) không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) > 0\).

* Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {6{x^2} - x - 5} \right)^3}\)là

A. \(D = \left( { - 4;1} \right).\)

B. \(D = \left[ {1;7} \right].\)

C. \(D = \left[ {1;7} \right].\)

D. \(D = R.\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(6{x^2} - x - 5\) xác định \( \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\)

Ví dụ 2: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - 8}}\)là

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\) 

Ví dụ 3: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{4}}}\) là

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\). 

Ví dụ 4: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {\sqrt {x - 1}  + 2018} \right)^{ - \frac{5}{2}}}\) là

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\). 

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ.

Ví dụ 5: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right)^3}\)là

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) xác định \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.\) . 

Ví dụ 6: Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{x - 4}}{{x + 1}}} \right)^{e - 1}}\).

A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} .\)

B. \(D = ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[4}}; + \infty ).\)

C. \(D = ( - 1;4).\)

D. \(D = ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty ).\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\dfrac{{x - 4}}{{x + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\) .