TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT

1. LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa lũy thừa và căn

• Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\) \((n \ge 2)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\).

• Chú ý:

Với \(n\) lẻ và \(b \in \mathbb{R}\): Có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

Với n chẵn:

+ \(b < 0:\) Không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\).

+ \(b = 0:\) Có một căn bậc \(n\) của \(b\) là số \(0\).

+ \(b > 0:\) Có hai căn bậc \(n\) của \(a\) là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là \(\sqrt[n]{b}\), căn có giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{b}\).


Số mũ \(\alpha \) Cơ số \(a\) Lũy thừa \({a^\alpha }\)

\(\alpha  = n \in {\mathbb{N}^*}\) \(a \in \mathbb{R}\) \({a^\alpha } = {a^n} = a \cdot a \cdots a\) (\(n\) thừa số \(a\)

\(\alpha  = 0\) \(a \ne 0\) \({a^\alpha } = {a^0} = 1\)

\(\alpha  =  - n,(n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a \ne 0\) \({a^\alpha } = {a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

\(\alpha  = \dfrac{m}{n},(m \in \mathbb{Z},n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a > 0\) \({a^\alpha } = {a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\), \((\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow a = {b^n})\)

\(\alpha  = \lim {r_n},({r_n} \in \mathbb{Q},n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a > 0\) \({a^\alpha } = \lim {a^{{r_n}}}\)


2. Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: 

\({a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\)

\(\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\)

\({({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;\)

\({(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }\)

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\) 

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{ - \alpha }} = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^\alpha } \cdot \)

• Nếu \(a > 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta \); Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta \).

• Với mọi \(0 < a < b\), ta có: \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)

• Chú ý:

Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

Khi xét lũy thừa với số mũ \(0\) và số mũ nguyên âm thì cơ số \(a\) phải khác \(0\).

Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số \(a\) phải dương.

3. Một số tính chất của căn bậc \(n\)

• Với \(a,b \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:

\(\sqrt[{2n + 1}]{{{a^{2n + 1}}}} = a,\forall a\).

\(\sqrt[{2n + 1}]{{ab}} = \sqrt[{2n + 1}]{a} \cdot \sqrt[{2n + 1}]{b},\forall a,b\).

\(\sqrt[{2n + 1}]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{2n + 1}]{a}}}{{\sqrt[{2n + 1}]{b}}},\forall a,\forall b \ne 0\).

• Với \(a,b \in \mathbb{R},\) ta có:

\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},\forall a > 0\), \(n\) nguyên dương, \(m\) nguyên.

\(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{nm}]{a},\forall a \ge 0\), \(n\),\(m\)nguyên dương.

Nếu \(\dfrac{p}{n} = \dfrac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,,\forall a > 0,m,n\)nguyên dương, \(p,q\) nguyên. Đặc biệt: \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{{a^m}}}\).