In sáchIn sách

CHƯƠNG 6. KHỐI CẦU - TRỤ - NÓN

Hệ thống: TRƯỜNG HỌC SỐ
Khoá học: TOÁN 12 - ÔN THI THPQG 2020
Book: CHƯƠNG 6. KHỐI CẦU - TRỤ - NÓN
Được in bởi: Người dùng khách
Ngày: Monday, 30 November 2020, 5:52 AM

1. MẶT NÓN

MẶT NÓN

                                                thiếu hình
1/  Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng\(\left( P \right)\), cho 2 đường thẳng \(d\), \(\Delta \)cắt nhau tại \(O\)và chúng tạo thành góc \(\beta \) với \({0^0} < \beta  < {90^0}\). Khi quay \(mp\left( P \right)\)xung quanh trục \(\Delta \)với góc \(\beta \)không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh \(O\) (hình 1).
 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
 Đường thẳng \(\Delta \) gọi là trục, đường thẳng \(d\) được gọi là đường sinh và góc \(2\beta \) gọi là góc ở đỉnh.
2/  Hình nón tròn xoay 
Cho \(\Delta OIM\)vuông tại \(I\)quay quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\) tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
 Đường thẳng \(OI\)gọi là trục, \(O\) là đỉnh, \(OI\)gọi là đường cao và \(OM\)gọi là đường sinh của hình nón.
 Hình tròn tâm \(I\), bán kính \(r = IM\) là đáy của hình nón.
3/  Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là \(h\), bán kính đáy\(r\)và đường sinh là \(l\) thì có:
 Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = \pi .r.l\)
 Diện tích đáy (hình tròn): \({{S}_{\eth }}=\pi .{{r}^{2}}\)
 Thể tích khối nón: \({{V}_{non}}=\frac{1}{3}{{S}_{\eth }}.h=\frac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h\)

\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần hình nón:.\({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{\eth }}\)

4/  Tính chất:
 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi \(mp(P)\) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(P)\) cắt mặt nón theo 2 đường sinh\( \Rightarrow \)Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu \(mp(P)\) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
 TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp\((Q)\) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(Q)\) vuông góc với trục hình nón\( \Rightarrow \)giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 2 đường sinh hình nón\( \Rightarrow \)giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 1 đường sinh hình nón\( \Rightarrow \)giao tuyến là 1 đường parabol.

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA


2. MẶT TRỤ

MẶT TRỤ

1/  Mặt trụ tròn xoay
Trong \(mp\left( P \right)\) cho hai đường thẳng \(\Delta \)và \(l\) song song nhau, cách nhau một khoảng \(r\). Khi quay \(mp\left( P \right)\) quanh trục cố định \(\Delta \) thì đường thẳng \(l\) sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
 Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là trục
 Đường thẳng \(l\) được gọi là đường sinh.
 Khoảng cách \(r\) được gọi là bán kính của mặt trụ.
2/  Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật\(ABCD\) xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh\(AB\) thì đường gấp khúc\(ABCD\) tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
 Đường thẳng\(AB\) được gọi là trục.
 Đoạn thẳng\(CD\) được gọi là đường sinh.
 Độ dài đoạn thẳng \(AB = CD = h\) được gọi là chiều cao của hình trụ.
 Hình tròn tâm \(A\), bán kính \(r = AD\) và hình tròn tâm \(B\), bán kính \(r = BC\) được gọi là 2 đáy của hình trụ.
 Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/  Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là\(h\)và bán kính đáy bằng\(r\), khi đó:
 Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh\)
 Diện tích toàn phần của hình trụ:    \({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}\)
 Thể tích khối trụ:       \(V = B.h = \pi {r^2}h\)
4/  Tính chất:
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \(r\)) bởi một \(mp\left( \alpha  \right)\) vuông góc với trục \(\Delta \) thì ta được đường tròn có tâm trên \(\Delta \) và có bán kính bằng \(r\) với \(r\) cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là \(r\)) bởi một \(mp\left( \alpha  \right)\) không vuông góc với trục \(\Delta \) nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng \(2r\) và trục lớn bằng \(\dfrac{{2r}}{{\sin \varphi }}\), trong đó \(\varphi \) là góc giữa trục \(\Delta \) và \(mp\left( \alpha  \right)\) với \({0^0} < \varphi  < {90^0}\).
 Cho \(mp\left( \alpha  \right)\) song song với trục \(\Delta \) của mặt trụ tròn xoay và cách \(\Delta \) một khoảng \(d\).
+ Nếu \(d < r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) cắt mặt trụ theo hai đường sinh \( \Rightarrow \) thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu \(d = r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu \(d > r\) thì \(mp\left( \alpha  \right)\) không cắt mặt trụ.

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA