In sáchIn sách

CHƯƠNG 5. KHỐI ĐA DIỆN

Hệ thống: TRƯỜNG HỌC SỐ
Khoá học: TOÁN 12 - ÔN THI THPQG 2020
Book: CHƯƠNG 5. KHỐI ĐA DIỆN
Được in bởi: Người dùng khách
Ngày: Tuesday, 9 March 2021, 8:10 AM

1. Kiến thức cơ bản

A. Thể tích các khối cơ bản
  1. Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}B\cdot h$ ($B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao).
  2. Thể tích khối lăng trụ $V=B\cdot h$.
  3. Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=a\cdot b\cdot c$.
  4. Thể tích khối lập phương: $V={{a}^{3}}$

B. Tỉ số thể tích các khối cơ bản

  • Khối tứ diện

$\dfrac{{{V_{S. A'B'C'}}}}{{{V_{S. ABC}}}}=\dfrac{{SA'}}{{SA}}\cdot \dfrac{{SB'}}{{SB}}\cdot \dfrac{{SC'}}{{SC}}$

  • Khối chóp đáy tứ giác

Đặt $a=\dfrac{{SA}}{{SA'}}$, $b=\dfrac{{SB}}{{SB'}}$, $c=\dfrac{{SC}}{{SC'}}$, $d=\dfrac{{SD}}{{SD'}}$

$\dfrac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}}=\dfrac{{a+b+c+d}}{{4abcd}}$

  • Khối lăng trụ tam giác

$\dfrac{{{V_{MNPQ. A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD. A'B'C'D'}}}}=\dfrac{1}{2}\left({\dfrac{{A'M}}{{AA'}}+\dfrac{{C'P}}{{CC'}}}\right)$

  • Khối lăng trụ tứ giác

$\dfrac{{{V_{MNP. A'B'C'}}}}{{{V_{ABC. A'B'C'}}}}=\dfrac{1}{3}\left({\dfrac{{MA'}}{{AA'}}+\dfrac{{NB'}}{{BB'}}+\dfrac{{PC'}}{{CC'}}}\right)$


  • Bài tập trắc nghiệm theo dạng toán, được tạo ngẫu nhiên từ ngân hàng lớn.
  • Các em làm bài theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó để đạt được kết quả tốt nhất

1.1. Thể tích khối lập phương

  1. Thể tích khối lập phương biết độ dài cạnh
  2. Thể tích khối lập phương biết độ dài đường chéo mặt bên
  3. Thể tích khối lập phương biết độ dài đường chéo mặt bên
  4. Thể tích khối hộp chữ nhật biết độ dài 3 kích thước

2. Cực trị thể tích khối đa diện

Cho khối tứ diện $OABC$, biết $OA=a$, $OB=b$, $OC=c$. Tìm điều kiện để thể tích của khối tứ diện lớn nhất.

Giải

  • ${S_{OBC}}=\dfrac{1}{2}OB\cdot OC\cdot \sin \widehat{BOC}$.
  • Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left({OBC}\right)$.
  • Thể tích ${V_{OABC}}=\dfrac{1}{3}{S_{OBC}}\cdot OH$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}OB\cdot OC\cdot \sin \widehat{BOC}\cdot OH$ $\le \dfrac{1}{6}OB\cdot OC\cdot OA$, vì $\left({\sin \alpha \le 1, OH \le OA}\right)$
  • Dấu $“=”$ xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\sin \widehat{BOC}=1\\OH=OA\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{BOC}=90^\circ \\OA \bot \left({OBC}\right)\end{array}\right.$
  • Vậy $OA \bot OB \bot OC$.
  • Thể tích lớn nhất là ${V_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC.$

  • Bài tập trắc nghiệm theo dạng toán, được tạo ngẫu nhiên từ ngân hàng lớn.
  • Các em làm bài theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó để đạt được kết quả tốt nhất