CHƯƠNG 5. KHỐI ĐA DIỆN

Mục lục

Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}B\cdot h$ ($B$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao).
Thể tích khối lăng trụ $V=B\cdot h$.
Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=a\cdot b\cdot c$.
Thể tích khối lập phương: $V={{a}^{3}}$

Đặt $a=\dfrac{{SA}}{{SA'}}$, $b=\dfrac{{SB}}{{SB'}}$, $c=\dfrac{{SC}}{{SC'}}$, $d=\dfrac{{SD}}{{SD'}}$

$\dfrac{{{V_{S. A'B'C'D'}}}}{{{V_{S. ABCD}}}}=\dfrac{{a+b+c+d}}{{4abcd}}$

$\dfrac{{{V_{MNPQ. A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD. A'B'C'D'}}}}=\dfrac{1}{2}\left({\dfrac{{A'M}}{{AA'}}+\dfrac{{C'P}}{{CC'}}}\right)$

$\dfrac{{{V_{MNP. A'B'C'}}}}{{{V_{ABC. A'B'C'}}}}=\dfrac{1}{3}\left({\dfrac{{MA'}}{{AA'}}+\dfrac{{NB'}}{{BB'}}+\dfrac{{PC'}}{{CC'}}}\right)$

Bài 1.

Cho khối tứ diện $OABC$, biết $OA=a$, $OB=b$, $OC=c$. Tìm điều kiện để thể tích của khối tứ diện lớn nhất.

${S_{OBC}}=\dfrac{1}{2}OB\cdot OC\cdot \sin \widehat{BOC}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $\left({OBC}\right)$.
Thể tích ${V_{OABC}}=\dfrac{1}{3}{S_{OBC}}\cdot OH$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}OB\cdot OC\cdot \sin \widehat{BOC}\cdot OH$ $\le \dfrac{1}{6}OB\cdot OC\cdot OA$, vì $\left({\sin \alpha \le 1, OH \le OA}\right)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\sin \widehat{BOC}=1\\OH=OA\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{BOC}=90^\circ \\OA \bot \left({OBC}\right)\end{array}\right.$
Vậy $OA \bot OB \bot OC$.
Thể tích lớn nhất là ${V_{OABC}}=\dfrac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC.$