In sáchIn sách

CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC

Hệ thống: TRƯỜNG HỌC SỐ
Khoá học: TOÁN 12 - ÔN THI THPQG 2020
Book: CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
Được in bởi: Người dùng khách
Ngày: Tuesday, 9 March 2021, 8:01 AM

1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa.
• Đơn vị ảo : Số \(i\)\({i^2} =  - 1\) được gọi là đơn vị ảo.
• Số phức \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\). Gọi \(a\) là phần thực, \(b\) là phần ảo của số phức \(z\).
• Tập số phức \(\mathbb{C} = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb{R};{i^2} =  - 1} \right\}\). Tập số thực \(\mathbb{R}\) là tập con của tập số phức \(\mathbb{C}\).
• Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = c}\\{b = d}\end{array}} \right.\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\).
 Đặc biệt:
 Khi phần ảo \(b = 0 \Leftrightarrow z = a \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z\) là số thực,
 Khi phần thực \(a = 0 \Leftrightarrow z = bi \Leftrightarrow z\) là số thuần ảo,
 Số \(0 = 0 + 0i\) vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Môđun của số phức.
• \(\left| z \right| = \left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) được gọi là môđun của số phức \(z\).
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
 \(\begin{array}{l}\left| z \right| \ge 0;\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0;\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\\\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\\\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\end{array}\)
3. Số phức liên hợp.
• Cho số phức \(z = a + bi\). Ta gọi số phức liên hợp của \(z\)\(\overline z  = a - bi\).
• Kết quả: \(\forall z \in \mathbb{C}\) ta có:
 \(\begin{array}{l}\overline {\overline z }  = z;\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {{z_1} \pm {z_2}}  = \overline {{z_1}}  \pm \overline {{z_2}} \\\overline {{z_1}.{z_2}}  = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overline {\left( {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \dfrac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}\end{array}\)
\(z\) là số thực \( \Leftrightarrow z = \overline z \)
\(z\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow z =  - \overline z \)
4. Phép toán trên tập số phức:
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi\)\({z_2} = c + di\) thì:
• Phép cộng số phức: \({z_1} + {z_2} = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
• Phép trừ số phức: \({z_1} - {z_2} = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)
 Mọi số phức \(z = a + bi\) thì số đối của \(z\)\( - z =  - a - bi:z + \left( { - z} \right) = \left( { - z} \right) + z = 0\)
• Phép nhân số phức:\({z_1}.{z_2} = \left( {ab - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)
 Chú ý \(\left\{ \begin{array}{l}{i^{4k}} = 1\\{i^{4k + 1}} = i\\{i^{4k + 2}} =  - 1\\{i^{4k + 3}} =  - i\end{array} \right.\)
• Phép chia số phức:
 Số phức nghịch đảo của \(z = a + bi \ne 0\): \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \overline z \)
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}} = \dfrac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \dfrac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}} \cdot i\) (với \({z_2} \ne 0\))

Một số ví dụ mình họa:




2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Căn bậc hai của số phức: 

Cho số phức \(w\). Mỗi số phức \(z\)thỏa mãn \({z^2} = w\) được gọi là một căn bậc hai của \(w\).
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a,\,b,\,c \in \mathbb{R};\,a \ne 0} \right)\). Xét \(\Delta  = {b^2} - 4ac\), ta có
• \(\Delta  = 0:\)phương trình có nghiệm thực \(x =  - \dfrac{b}{{2a}}\).
• \(\Delta  > 0\): phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\).
• \(\Delta  < 0\): phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:\({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\).
 Chú ý.
 Mọi phương trình bậc \(n\): \({A_o}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0\)luôn có \(n\) nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)(thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

• Trường hợp \(w\) là số thực: Nếu \(a\) là một số thực
 + \(a < 0,\)\(a\) có các căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {|a|} \).
 + \(a = 0\), \(a\) có đúng một căn bậc hai là 0.
 + \(a > 0\), \(a\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \).
Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là \(i\)\( - i\). Hai căn bậc hai của \( - {a^2}\)(\(a\)là số thực khác 0) là \(ai\)\( - ai\).
• Trường hợp \(w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,b \ne 0} \right)\)
Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là một căn bậc hai của \(w\) khi và chỉ khi \({z^2} = w\), tức là
\({\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow \,{x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)
Mỗi cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai \(x + yi\) của số phức \(w = a + bi\).
Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của \(w =  - 5 + 12i\).
Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(w =  - 5 + 12i\).
Ta có \({z^2} = w \Leftrightarrow \,{\left( {x + yi} \right)^2} =  - 5 + 12i\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} =  - 5\\2xy = 12\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\y = \dfrac{6}{x}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(w =  - 5 + 12i\) có hai căn bậc hai là \(2 + 3i\)\( - 2 - 3i\).
2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan
• Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: \({z^2} - z + 1 = 0\)
Ta có \(\Delta  = {b^2} - 4ac =  - 3 < 0\)
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là \({x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\).
• Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
 + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm \(x = 1\).
 + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm \(x =  - 1\).
 + Định lý Bơdu:
Phần dư trong phép chia đa thức \(f\left( x \right)\)cho \(x - a\) bằng giá trị của đa thức \(f\left( x \right)\) tại \(x = a.\)
Tức là \(f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right) - f\left( a \right)\)
Hệ quả: Nếu \(f\left( a \right) = 0\) thì \(f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)\)
Nếu \(f\left( x \right) \vdots \left( {x - a} \right)\)thì \(f\left( a \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) = 0\) có một nghiệm \(x = a.\)
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Với đa thức \(f\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}\) chia cho \(x - a\) có thương là \(g\left( x \right) = {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {b_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ... + {b_1}x + {b_0}\)\(r\)

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.
Nhập số thuần ảo \(i\): Phím ENG
2. Tìm các căn bậc hai của một số phức
Ví dụ 5:  Khai căn bậc hai số phức \(z =  - 3 - 4i\) có kết quả:
Cách 1:
– Mode 2 (CMPLX)
– Nhập hàm \({X^2}\)
– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng \(z\) thì ta nhận.
Cách 2:
– Mode 1 (COMP)
– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập \(Pol\left( { - 3;4} \right)\)
– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập\({\mathop{\rm Re}\nolimits} c\left( {\sqrt X ,Y:2} \right)\), ta thu được kết quả\(X = 1;\,Y = 2\).
– Vậy 2 số phức cần tìm là \(1 + 2i\)\( - 1 - 2i\).