In sáchIn sách

TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT

Hệ thống: TRƯỜNG HỌC SỐ
Khoá học: TOÁN 12 - ÔN THI THPQG 2020
Book: TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT
Được in bởi: Người dùng khách
Ngày: Tuesday, 9 March 2021, 7:57 AM

1. LŨY THỪA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa lũy thừa và căn

• Cho số thực \(b\) và số nguyên dương \(n\) \((n \ge 2)\). Số \(a\) được gọi là căn bậc \(n\) của số \(b\) nếu \({a^n} = b\).

• Chú ý:

Với \(n\) lẻ và \(b \in \mathbb{R}\): Có duy nhất một căn bậc \(n\) của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).

Với n chẵn:

+ \(b < 0:\) Không tồn tại căn bậc \(n\) của \(b\).

+ \(b = 0:\) Có một căn bậc \(n\) của \(b\) là số \(0\).

+ \(b > 0:\) Có hai căn bậc \(n\) của \(a\) là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là \(\sqrt[n]{b}\), căn có giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{b}\).


Số mũ \(\alpha \) Cơ số \(a\) Lũy thừa \({a^\alpha }\)

\(\alpha  = n \in {\mathbb{N}^*}\) \(a \in \mathbb{R}\) \({a^\alpha } = {a^n} = a \cdot a \cdots a\) (\(n\) thừa số \(a\)

\(\alpha  = 0\) \(a \ne 0\) \({a^\alpha } = {a^0} = 1\)

\(\alpha  =  - n,(n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a \ne 0\) \({a^\alpha } = {a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

\(\alpha  = \dfrac{m}{n},(m \in \mathbb{Z},n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a > 0\) \({a^\alpha } = {a^{\dfrac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\), \((\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow a = {b^n})\)

\(\alpha  = \lim {r_n},({r_n} \in \mathbb{Q},n \in {\mathbb{N}^*})\) \(a > 0\) \({a^\alpha } = \lim {a^{{r_n}}}\)


2. Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: 

\({a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\)

\(\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\)

\({({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;\)

\({(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }\)

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\) 

\({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{ - \alpha }} = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^\alpha } \cdot \)

• Nếu \(a > 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta \); Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta \).

• Với mọi \(0 < a < b\), ta có: \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)

• Chú ý:

Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

Khi xét lũy thừa với số mũ \(0\) và số mũ nguyên âm thì cơ số \(a\) phải khác \(0\).

Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số \(a\) phải dương.

3. Một số tính chất của căn bậc \(n\)

• Với \(a,b \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:

\(\sqrt[{2n + 1}]{{{a^{2n + 1}}}} = a,\forall a\).

\(\sqrt[{2n + 1}]{{ab}} = \sqrt[{2n + 1}]{a} \cdot \sqrt[{2n + 1}]{b},\forall a,b\).

\(\sqrt[{2n + 1}]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{2n + 1}]{a}}}{{\sqrt[{2n + 1}]{b}}},\forall a,\forall b \ne 0\).

• Với \(a,b \in \mathbb{R},\) ta có:

\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},\forall a > 0\), \(n\) nguyên dương, \(m\) nguyên.

\(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{nm}]{a},\forall a \ge 0\), \(n\),\(m\)nguyên dương.

Nếu \(\dfrac{p}{n} = \dfrac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,,\forall a > 0,m,n\)nguyên dương, \(p,q\) nguyên. Đặc biệt: \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{{a^m}}}\).


2. LOGARIT.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa: 

Cho hai số dương \(a,\,\,b\) với \(a \ne 1\). Số \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\)  của \(b\) và kí hiệu là \({\log _a}b\) . Ta viết: \(\alpha  = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b.\) 

2. Các tính chất: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), ta có:

\({\log _a}a = 1,\,\,\,{\log _a}1 = 0\) 

\({a^{{{\log }_a}b}} = b,\,\,\,{\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \) 

3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có

\({\log _a}({b_1}.{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\)

4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương \(a,\,\,{b_1},\,\,{b_2}\) với \(a \ne 1\), ta có

\({\log _a}\dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\)

• Đặc biệt : với \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\) \({\log _a}\dfrac{1}{b} =  - {\log _a}b\) 

5. Lôgarit của lũy thừa: Cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\), với mọi \(\alpha \), ta có

\({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)

• Đặc biệt: \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) 

6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) với \(a \ne 1,c \ne 1\), ta có

\({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\) 

• Đặc biệt : \({\log _a}c = \dfrac{1}{{{{\log }_c}a}}\) và \({\log _{{a^\alpha }}}b = \dfrac{1}{\alpha }{\log _a}b\) với \(\alpha  \ne 0\).

Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết :  \({\log _{10}}b = \log b = \lg b\) 

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e\) . Viết : \({\log _e}b = \ln b\) 

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Tính giá trị biểu thức

2. Rút gọn biểu thức

3. So sánh hai biểu thức

4. Biểu diễn giá trị logarit qua một hay nhiều giá trị logarit khác

C. CÁC VÍ DỤ MẪU

1. ….

2. …


3. HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ LŨY THỪA

HÀM SỐ LŨY THỪA

I – LÝ THUYẾT

1.  Định nghĩa: Hàm số \(y = {x^\alpha },\) với \(\alpha  \in \mathbb{R},\) được gọi là hàm số lũy thừa.

2.  Tập xác định: Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là:

\(D = \mathbb{R}\) nếu \(\alpha \) là số nguyên dương.     

♠    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) với \(\alpha \) nguyên âm hoặc bằng \(0.\)

♠    \(D = (0; + \infty )\) với \(\alpha \) không nguyên.

3.  Đạo hàm: Hàm số \(y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha  \in \mathbb{R})\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\)\(({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha  - 1}}.\)

4.  Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng \((0; + \infty )\) (khảo sát hàm lũy thừa).

\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha  > 0\)

A. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

B. Sự biến thiên: 

  \(y' = \alpha {x^{\alpha  - 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

  Giới hạn đặc biệt: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^\alpha } =  + \infty .\)

C. Tiệm cận: Không có

D. Bảng biến thiên: 

 THIẾU BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ

E. Đồ thị:














\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha  < 0\)

A. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

B.  Sự biến thiên:

  \(y' = \alpha {x^{\alpha  - 1}} < 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

  Giới hạn đặc biệt: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } =  + \infty ,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^\alpha } = 0.\)

Tiệm cận:

Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang.

     Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng.

C.  Bảng biến thiên:

  THIẾU BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ

F. Đồ thị:














Đồ thị của hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\) luôn đi qua điểm \(I(1;1).\)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: \(y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ - 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.\)


II – CÁC DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Tập xác định của hàm lũy thừa, hàm vô tỷ

a) Phương pháp giải

- Tự luận thuần túy: 

Xét hàm số \(y = {\left[ {f(x)} \right]^\alpha }\)

Khi \(\alpha \) nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x)\) xác định.

Khi \(\alpha \) nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) \ne 0\)

Khi \(\alpha \) không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) > 0\).

* Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {6{x^2} - x - 5} \right)^3}\)

A. \(D = \left( { - 4;1} \right).\)

B. \(D = \left[ {1;7} \right].\)

C. \(D = \left[ {1;7} \right].\)

D. \(D = R.\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(6{x^2} - x - 5\) xác định \( \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\)

Ví dụ 2: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - 8}}\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \pm 1\) 

Ví dụ 3: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{4}}}\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\)

Ví dụ 4: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {\sqrt {x - 1}  + 2018} \right)^{ - \frac{5}{2}}}\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Sử dụng bảng kết quả để loại trừ.

Ví dụ 5: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right)^3}\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) xác định \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{x \ne 2}\end{array}} \right.\)

Ví dụ 6: Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {\dfrac{{x - 4}}{{x + 1}}} \right)^{e - 1}}\).

A. \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} .\)

B. \(D = ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[4}}; + \infty ).\)

C. \(D = ( - 1;4).\)

D. \(D = ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty ).\)

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\dfrac{{x - 4}}{{x + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\)



4. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa

Cho $a$ là số thực dương và $a \ne 1.$ Hàm số $y = a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a.$

2. Đạo hàm của hàm số mũ

    • $y = a^x \to y' = a^x\ln a; $
    • $y = e^x \to y' = e^x; $ $\mathbb{R}$
    • $y = a^{u\left(x \right)} \to y' = u'\left(x \right). \ln a. a^{u\left(x \right)}.$

3. Khảo sát hàm số mũ

    • Tập xác định: của hàm số mũ $y = a^x\left({a > 0, \, a \ne 1} \right)$ là \(D = \mathbb{R}\) .
    • Chiều biến thiên:
      • $a>1$: Hàm số luôn đồng biến.
      • $0 < a < 1$: Hàm số luôn nghịch biến.
    • Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là đường tiệm cận ngang.
    • Đồ thị: Đồ thị đi qua điểm $\left({0; 1} \right), $ $\left({1; a} \right)$ và nằm phía trên trục hoành.

Nhận xét. Đồ thị hàm số $y = a^x$ và đồ thị hàm số $y = \log _a x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = x.$


5. HÀM SỐ LOGARIT

Cho $a$ là số thực dương và $a \ne 1.$ Hàm số $y = \log _ax$ gọi là hàm số logarit cơ số $a.$

2. Đạo hàm hàm số logarit

    • $y = \log _ax \to y' = \dfrac 1 {x\ln a}; $
    • $y = \ln x \to y' = \dfrac 1 x; $
    • $y = \log _au\left(x \right) \to y' = \dfrac {u'\left(x \right)} {u\left(x \right). \ln a}.$

3. Khảo sát hàm số logarit

    • Tập xác định: của hàm số logarit $y = \log _ax\, \left({a > 0, \, a \ne 1} \right)$ là $\left({0; + \infty} \right).$
    • Chiều biến thiên:
      • $a > 1: $ Hàm số đồng biến.
      • $0 < a < 1: $ Hàm số nghịch biến.
    • Tiệm cận: Trục tung $Oy$ là đường tiệm cận đứng.
    • Đồ thị: Đồ thị đi qua điểm $M\left(1; 0 \right), $ $N\left(a; 1\right)$ và nằm phía bên phải trục tung.

6. PT, BPT MŨ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình mũ cơ bản :  \({a^x} = b{\rm{ }}\left( {a > 0,{\rm{ }}a \ne 1} \right)\).
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \(b > 0\).
● Phương trình vô nghiệm khi \(b \le 0\).
2. Biến đổi, quy về cùng cơ số
\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).
3. Đặt ẩn phụ
$f\left[ {{a}^{g\left( x \right)}} \right]=0\mathsf{  }\text{ }\left( 0<a\ne 1 \right)\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{align}
  & t={{a}^{g\left( x \right)}}>0 \\
 & f\left( t \right)=0 \\
\end{align} \right.$
Ta thường gặp các dạng:
● \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\)
● \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b = 1\). Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},{\rm{  }}t > 0\), suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{t}\).
● \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\). Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\)  và đặt \({\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).
4. Logarit hóa
● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1,{\rm{ }}b > 0\\f\left( x \right) = {\log _a}b\end{array} \right.\).
● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b\)
                                                       hoặc \({\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).\)
5. Giải bằng phương pháp đồ thị
o Giải phương trình: \({a^x} = f\left( x \right)\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\).  \(\left(  *  \right)\)
o Xem phương trình \(\left(  *  \right)\) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \(y = {a^x}\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\). Khi đó ta thực hiện hai bước:
 Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) và \(y = f\left( x \right)\).
 Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o Tính chất 1. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = k\) trên \(\left( {a;b} \right)\) không nhiều hơn một và \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v,\)  \(\forall u,v \in \left( {a;b} \right)\).
o Tính chất 2. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \(y = g\left( x \right)\) liên tục và luôn nghịch biến  (hoặc luôn đồng biến) trên \({\rm{D}}\) thì số nghiệm trên \({\rm{D}}\) của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) không nhiều hơn một.
o Tính chất 3. Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \({\rm{D}}\) thì bất phương trình \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v{\rm{ }}\left( {{\rm{hoac }}\  \ u < v} \right){\rm{,    }}\forall u,v \in D\).
 7. Sử dụng đánh giá
o Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).
o Nếu ta đánh giá được \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m\\g\left( x \right) \le m\end{array} \right.\)  thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = m\\g\left( x \right) = m\end{array} \right.\).
8. Bất phương trình mũ
• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

.  Tương tự với bất phương trình dạng: \(\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.\)
• Trong trường hợp cơ số\(a\)có chứa ẩn số thì:  .
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Sử dụng tính đơn điệu: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\)
 đồng biến trên \(D\) thì:\(f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u < v\)
 nghịch biến trên \(D\) thì:\(f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u > v\)

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA


7. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa
• Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
• Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho \(a,\,\,b > 0,\,\,a \ne 1\)
• Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \({\log _a}f(x) = b\)
• Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ${{\log }_{a}}f(x)>b;\,\,{{\log }_{a}}f(x)\ge b;\,\,{{\log }_{a}}f(x)<b;\,\,{{\log }_{a}}f(x)\le b$
3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
• Đưa về cùng cơ số
 \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\),  với mọi \(0 < a \ne 1\)
 Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.\)
 Nếu \(0 < a < 1\) thì \[{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.\]

• Đặt ẩn phụ
• Mũ hóa